8 fatos matemáticos controvertidos e contra-intuitivos

Ao estudar os números, os matemáticos chegaram a várias descobertas que contrariam o senso-comum. Por exemplo, quem espera encontrar uma série de sete caras em lançamentos de moedas (cara ou coroa)? Ou descobrir que os números racionais podem ser contados?

Veja aqui oito destes fatos matemáticos, que são comprovados, e teste sua intuição com eles.

1. O problema da Gim com Tônica

Suponha que você tenha um copo de gim e um copo com tônica. Você pega uma medida da tônica e coloca no gim, e mistura bem. Em seguida, pega uma medida da mistura de gim com tônica, e coloca na tônica. A pergunta é: tem mais gim na tônica ou mais tônica no gim?

A maioria das pessoas acredita que um dos copos terá mais da substância original, como mais tônica no copo de tônica que gim no copo de gim, mas tem exatamente a mesma quantidade de tônica no copo de gim que tem de gim no copo de tônica. E é fácil demonstrar isso.

Supondo que a medida seja de 40 ml, no primeiro passo você coloca 40 ml de tônica no gim. A seguir, pega 40 ml da mistura e coloca no copo de tônica. A segunda dose contém X ml de tônica e 40X ml de gim. Então há 40X ml de gim no copo de tônica. Como você colocou 40 ml de tônica no copo de gim, mas pegou de volta Xml, tem 40X ml de tônica no copo de gim. A mesma quantia.

2. Sequências de cara ou coroa durante lances de moeda são comuns

Todo mundo sabe que quando se joga uma moeda, cada lado tem 50% de chances de ficar para cima. No entanto, se você fizer mil lançamentos, é altamente improvável que você obtenha exatamente 500 caras e 500 coroas. E se você lançar uma moeda mil vezes, quantas sequências de cinco caras você pode esperar? E quantas de dez caras? A resposta é 31 sequências de 5 caras esperadas, e 1 sequência de 10 caras esperadas. 

Quando você lança uma moeda uma única vez, tem dois resultados possíveis (2^1), cara ou coroa, que vamos chamar de A e B. Se lançar duas vezes, tem quatro resultados possíveis (2^2), duas caras (AA), duas coroas (BB), uma cara seguida de uma coroa (AB), e uma coroa seguida de uma cara (BA). Uma sequência de duas caras é 1/(2^2) dos resultados possíveis. Em três lançamentos, tem 8 resultados possíveis (2^3): AAA, AAB, ABA, ABB, BBB, BBA, BAB, e BAA, e uma sequência de três caras é 1/(2^3) deles. Percebeu o padrão? Para “n” lançamentos, existem 2^n resultados possíveis, e uma sequência de n caras é 1/2^n deles. 

Para 5 lançamentos, são 32 resultados diferentes possíveis, e uma série de 5 caras é 1/32 deles. Para 10 lançamentos, há 1.024 resultados possíveis, e uma série de 10 caras é 1/1.024 deles. Usando este raciocínio, podemos calcular quantas séries de 7 caras, por exemplo, em sequência podemos esperar em 1.000 lançamentos da moeda, multiplicando o número de lançamentos pela fração de séries de 7 caras em 7 lançamentos, ou 1000*1/(2^7): aproximadamente oito séries de 7 caras.

3. Comprar seguro contra enchente ou contra vulcões

Você se muda para uma região em que acontecem enchentes a cada 100 anos e erupções vulcânicas a cada 50 anos, isto significa que a cada ano tem uma chance em 100 de ocorrer uma enchente (probabilidade de 0,01) e uma chance em 50 de uma erupção (probabilidade de 0,02). Quanto tempo você deve viver antes de ter 50% de certeza de que verá um destes eventos? 

A melhor abordagem é examinar qual a probabilidade para cada ano de que nenhum destes eventos aconteça. Sabendo a probabilidade de não ser atingido por um desastre natural em um dado ano, podemos descobrir quanto tempo levará antes que possamos ter uma boa certeza de que algum destes eventos irá acontecer. 

Assim, temos em um ano a probabilidade 1,0 – 0,01 = 0,99 de que não aconteça enchente naquele ano, e a probabilidade 1,0 – 0,02 = 0,98 de que não ocorra uma erupção. A probabilidade de que nenhum dos dois aconteça em um ano é obtida multiplicando as duas probabilidades – 0,99 * 0,98 = 0,9702 ou 97,02% de probabilidade de não acontecer nem enchente, nem erupção em um ano. Em dois anos, a probabilidade de que nada aconteça é de 0,9702 * 0,9702 = 0,9413, ou 94%. Para três anos, a probabilidade é de 91%. 

Podemos ir fazendo o cálculo para todos os anos, até que a chance de que nada aconteça seja de 50%. Este resultado vai aparecer no 23° ano. Sabendo que você tem uma boa chance de não ver nenhum desastre natural por uns vinte anos ou mais, talvez seja mais negócio economizar em vez de comprar um seguro.

4. O problema dos falsos-positivos em exames de doenças

Suponha que há um programa de testes gratuitos para uma doença perigosa que afeta 1% da população. O teste tem um problema: ele sempre acerta quando dá negativo, mas quando dá positivo, há uma chance de 5% de ser um falso-positivo. Você faz o teste e dá positivo. É hora de se desesperar? 

Não. Considere uma população de 10.000 pessoas fazendo teste. 1%, ou 100 pessoas, provavelmente tem a doença, e o teste vai dar positivo em todas elas. Além destas pessoas infectadas, o teste também vai dar positivo para 5% das pessoas não infectadas. Ou seja, de 9.900 pessoas testadas, 495 vão levar um susto tremendo. 

Como você recebeu um resultado positivo, você é uma das 595 pessoas que receberam positivo. Mas só 100 dessas 595 realmente estão infectadas – 17%. Você tem 83% de chances de não estar infectado. Melhor pedir uma segunda opinião.

5. Se você quer adivinhar a profissão de alguém baseado em um atributo, você provavelmente vai errar

Suponha que você quer adivinhar a profissão de João. A única coisa que você sabe é que João segue a política muito, muito de perto. Sabendo isso, o que é mais provável: que João seja um cientista político ou um motorista de ônibus? 

Como ele é “ligado” em política, você pode pensar que é mais provável que ele seja um cientista político, certo? Errado. Vamos usar alguns dados do Bureau of Labor Statistics (“Secretaria de Estatísticas do Trabalho”, em tradução livre – BLS) dos Estados Unidos. Segundo o BLS, existem 652.590 motoristas de ônibus nos EUA, e um número estimado de 5.750 cientistas políticos. Para cada cientista político, você tem mais de 100 motoristas de ônibus.

Com isto, a pergunta que temos que responder passa a ser: “Você acha que mais de um em cada 114 motoristas de ônibus segue a política bem de perto?”. Se a resposta for sim, então é mais provável que João seja um motorista de ônibus que um cientista político. Se for não, então é mais provável que ele seja um cientista político. 

Considerando apenas estas duas carreiras, tendo 114 motoristas de ônibus para cada cientista político, a probabilidade de João ser motorista de ônibus é de 114/115, e a probabilidade dele ser um cientista político é 1/115. Vamos supor que 99% dos cientistas políticos estão interessados realmente em política, ou 99/100. Se supormos que 10% dos motoristas de ônibus tenham interesse em política, tempos P(política|motorista)=10/100. 

Podemos assim calcular a probabilidade de que João seja um cientista político, sabendo que ele está interessado em política: P(cientista|política)= 99/100 * 1/115 = 99/11.500 E a probabilidade de João ser um motorista, considerando que ele está interessado em política: P(motorista|política) = 10/100 * 114/115 = 1.140/11.500. Em outras palavras, João tem 92% de probabilidade de ser um motorista de ônibus do que um cientista político, considerando que ele é interessado em política.

6. Promotores estão usando estatísticas incorretas para mandar pessoas para a cadeia

Suponha que você esteja no corpo de jurados no julgamento de um ataque ocorrido em um estádio de futebol. A testemunha chave disse que viu o assaltante usando uma camisa do Time A, e esta é a evidência que está ligando o acusado ao crime. A gerência do estádio disse para a polícia que, de acordo com as gravações de vídeo, 9% dos torcedores estavam usando a camisa do Time A. Em um teste feito pela polícia, a testemunha foi capaz de distinguir a camiseta do Time A com 80% de acerto. Você condenaria o acusado? 

Muitos condenariam, considerando que a testemunha tinha bastante confiança de que o marginal estava vestindo uma camiseta do Time A, e ele teve um resultado muito bom na identificação de camisetas – 80%. Além do mais, não haviam tantos torcedores do Time A no jogo, então provavelmente é ele. Só que esta é a maneira errada de raciocinar o problema – há, na verdade, boas chances que o acusado seja inocente. 

O que precisamos calcular é a probabilidade de que a camiseta que a testemunha viu realmente era uma do Time A. Para isto, precisamos fatorar dois casos: o verdadeiro criminoso realmente usava a camiseta do Time A e o caso em que a camiseta era outra. Para cada caso, temos que calcular qual a probabilidade de que a testemunha diria ter visto uma camiseta do Time A. 

A probabilidade do assaltante estar com a camiseta do Time A e a testemunha reconhecer a camiseta do Time A é de 0,072 (0,80 * 0,09); a probabilidade do assaltante estar com outra camiseta e a testemunha identificar ela como sendo do Time A é de 0,182 (0,20 * 0,91). Ou seja, a probabilidade da testemunha ter identificado a camiseta como do Time A é de 0,254 (0,072 + 0,182), e a probabilidade de ter identificado corretamente uma camiseta do Time A é, então, de 28% (0,072/0,254). 

Com uma probabilidade de 28% de que o assaltante realmente estava vestindo a camiseta do Time A, será que o acusado é mesmo o culpado? 

7. Nem todos os espaços do jogo Monopólio são igualmente prováveis

O Monopólio (estilo Banco Imobiliário) é um jogo que combina sorte e habilidade. A parte da sorte os estatísticos já decifraram, usando as “Cadeias de Markov”. As cadeias de Markov são uma forma de mapear os estados de sistemas probabilísticos complexos, como o jogo de Monopólio.

Como exemplo, a cadeia de Markov acima mostra um modelo hipotético para o mercado. Os círculos marcam estados possíveis, e as setas, as transições ou mudanças de um estado para outro. Os números que acompanham as setas indicam a probabilidade daquela transição de estado acontecer. 

O gráfico aponta, por exemplo, que um “bull market” tem 7,5% de chances de se tornar um “bear market”, 2,5% de entrar em recessão, e 90% de chances de permanecer como “bull market”. A partir deste gráfico, é possível calcular e descobrir que em 62,5% do tempo o mercado estará no estado “bull market”, 31,3% do tempo no “bear market”, e em recessão durante 6,25% do tempo.

Este mesmo tipo de gráfico pode ser feito para o tabuleiro de Monopólio. Para cada ponto de partida, existem alguns destinos com mais ou menos probabilidade, e as cartas Sorte e Cadeia são as responsáveis por isto. O resultado? As três casas mais populares – e perigosas – no tabuleiro de Monopólio são: “Prisão”, “Go” e “Avenida Illinois”.

8. Os números racionais são infinitos, mas contáveis ou enumeráveis

Os números racionais são números que podem ser expressos como frações, por exemplo, 1/2, -7/5, 22/23, 2/1, e assim por diante. Qualquer número que não possa ser representado por uma fração de dois números inteiros é considerado irracional, como “pi” e “e”.

Um conjunto contável ou enumerável é um conjunto de números que a gente pode contar quantos elementos tem, mesmo que sejam infinitos. Outra maneira de dizer isto é que você pode colocar todos os elementos do conjunto em sequência: se você faz isto, já está “enumerando” o conjunto – um elemento será o primeiro, o seguinte será o segundo, e assim por diante. Os números primos, por exemplo, podem ser colocados em sequência e são, portanto, enumeráveis.

O conjunto dos números racionais é um conjunto deste tipo, e a prova disso foi feita pelo matemático russo Georg Cantor (1845-1918). Isto é contra-intuitivo: pense em quantas frações você pode escrever que tenham valor absoluto entre 0 e 1. Se você pensou correto, deve ter dito “infinitas frações”. Mas dá para “contar” ou colocar em sequência todos os infinitos números racionais que existem? É esta a afirmação de Georg Cantor, e ele provou isto matematicamente.

O que Cantor fez foi usar um conjunto que é infinito, mas enumerável, o conjunto dos números naturais (todos os números inteiros maiores ou iguais a zero ou, em linguagem matemática, N = {0, 1, 2, 3, …}). Ele demonstrou que qualquer conjunto que pode ser relacionado diretamente ao conjunto dos naturais é, também, um conjunto enumerável, como aquele é. Em linguagem um pouco mais precisa, ele mostrou que dá para criar uma função bijetora que relacione os números racionais e os números naturais, e, assim, os racionais são enumeráveis.

Uma das maneiras de provar isso é criar uma tabelinha de numeradores e denominadores:

1/1 1/2 1/3 1/4 …
2/1 2/2 2/3 2/4 …
3/1 3/2 3/3 3/4 …
4/1 4/2 4/3 4/4 …

Em seguida, comece a anotar os números segundo diagonais, eliminando os que podem ser simplificados para outra fração que já foi contada (2/2, 3/3, 4/4 e outros iguais pode ser simplificados para 1/1, por exemplo). O resultado é uma série de frações em ordem, ou seja, enumerável:

1/1, 2/1, 1/2, 3/1, 1/3, 4/1, 3/2, 2/3, 1/4… Ah, a matemática. Já sabíamos que ela era complicada, mas ainda assim ela não deixa de nos surpreender.

Fonte: http://www.businessinsider.com/