Imagine que você pegue uma laranja e, usando uma faca especial, corte seis fatias. Depois, você pega três delas e as junta, girando e movendo-as até se encaixarem. Em seguida, faz o mesmo com as três outras fatias, e acaba com duas laranjas, iguais à laranja original em tudo. Repita o processo e obtenha infinitas laranjas. Faça isto com uma laranja de ouro e fique infinitamente rico.
Parece absurdo? É por isto que é chamado de paradoxo
Este é o paradoxo de Banach-Tarski, proposto em 1924 por Stefan Banach e Alfred Tarski, que prova a seguinte declaração genérica: “Dados quaisquer dois subconjuntos limitados A e B de um espaço euclidiano com ao menos três dimensões, ambos com um interior não vazio, existem partições de A e B em um número finito de subconjuntos disjuntos, A = A1 ∪ … ∪ Ak, B = B1 ∪ … ∪ Bk, tal que para cada i entre 1 e k, os conjuntos Ai e Bi são congruentes”.
Traduzindo isto para uma linguagem coloquial, se A for uma bola original e B um conjunto de duas cópias da bola original, a proposição significa que você pode dividir a bola original A em um certo número de peças e então girar e mover estas peças de uma forma que o resultado é o conjunto B, que contém duas cópias de A.
A dupla de matemáticos provou que dava para realizar o milagre da duplicação das esferas com seis “fatias”, mas o matemático R. Robinson, em 1947, provou que 5 era o número mínimo de “fatias” para a proeza, e que menos não seriam suficientes.
Obviamente, o paradoxo só funciona na matemática, já que trabalha com conjuntos infinitos, e na natureza as esferas (e as laranjas) são objetos finitos, com um número finito de partículas subatômicas que obedecem a algumas leis, como a conservação da matéria.
A esfera do paradoxo é um ente matemático que não tem massa e não está preso à lei da conservação da matéria. As fatias também são matemáticas, e não tem volume, ou melhor, seu volume não pode ser calculado. Por tudo que sabemos, cada “fatia” poderia ser um grupo (infinito) de pontos espalhados por toda a esfera, sem o aspecto de uma “fatia”.
Mas por que a dupla propôs este paradoxo? Eles estavam implicando com o “axioma da escolha”. Este axioma é utilizado na matemática como uma ferramenta para facilitar algumas provas matemáticas, mas muitos matemáticos acham que o mundo seria melhor sem ele.
Basicamente, o axioma diz que se você tiver um conjunto A em que os elementos são outros conjuntos a1, a2, a3, …, existe uma maneira de você criar um novo conjunto B, o “conjunto escolha”, escolhendo (o axioma não explica como) um elemento de cada um dos conjuntos a1, a2, a3, … não vazios.
A implicação do paradoxo é que o axioma deve ser rejeitado, justamente por que sua aplicação pode levar a estes paradoxos. O assunto vai mais longe. Quem quiser se aprofundar pode começar com os links dados a seguir, mas já fica o aviso: é matemática pura.
Parece absurdo? É por isto que é chamado de paradoxo
Este é o paradoxo de Banach-Tarski, proposto em 1924 por Stefan Banach e Alfred Tarski, que prova a seguinte declaração genérica: “Dados quaisquer dois subconjuntos limitados A e B de um espaço euclidiano com ao menos três dimensões, ambos com um interior não vazio, existem partições de A e B em um número finito de subconjuntos disjuntos, A = A1 ∪ … ∪ Ak, B = B1 ∪ … ∪ Bk, tal que para cada i entre 1 e k, os conjuntos Ai e Bi são congruentes”.
Traduzindo isto para uma linguagem coloquial, se A for uma bola original e B um conjunto de duas cópias da bola original, a proposição significa que você pode dividir a bola original A em um certo número de peças e então girar e mover estas peças de uma forma que o resultado é o conjunto B, que contém duas cópias de A.
A dupla de matemáticos provou que dava para realizar o milagre da duplicação das esferas com seis “fatias”, mas o matemático R. Robinson, em 1947, provou que 5 era o número mínimo de “fatias” para a proeza, e que menos não seriam suficientes.
Obviamente, o paradoxo só funciona na matemática, já que trabalha com conjuntos infinitos, e na natureza as esferas (e as laranjas) são objetos finitos, com um número finito de partículas subatômicas que obedecem a algumas leis, como a conservação da matéria.
A esfera do paradoxo é um ente matemático que não tem massa e não está preso à lei da conservação da matéria. As fatias também são matemáticas, e não tem volume, ou melhor, seu volume não pode ser calculado. Por tudo que sabemos, cada “fatia” poderia ser um grupo (infinito) de pontos espalhados por toda a esfera, sem o aspecto de uma “fatia”.
Mas por que a dupla propôs este paradoxo? Eles estavam implicando com o “axioma da escolha”. Este axioma é utilizado na matemática como uma ferramenta para facilitar algumas provas matemáticas, mas muitos matemáticos acham que o mundo seria melhor sem ele.
Basicamente, o axioma diz que se você tiver um conjunto A em que os elementos são outros conjuntos a1, a2, a3, …, existe uma maneira de você criar um novo conjunto B, o “conjunto escolha”, escolhendo (o axioma não explica como) um elemento de cada um dos conjuntos a1, a2, a3, … não vazios.
A implicação do paradoxo é que o axioma deve ser rejeitado, justamente por que sua aplicação pode levar a estes paradoxos. O assunto vai mais longe. Quem quiser se aprofundar pode começar com os links dados a seguir, mas já fica o aviso: é matemática pura.
Fonte: http://hypescience.com/
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